將1加到無限大，答案會是？。翻攝自littlecanargie的YouTube。
2014年11月25日10:40
你有想過嗎？如果從1開始，依序將所有自然數往上加，直到加至無限大，最後的答案會是什麼？可能會讓你大吃一驚！答案難道不是無限嗎？
YouTube上的數字狂頻道分享了一支短片，標題名稱為「驚人的總和」，影片中的學者，英國諾丁漢大學副教授Tony Padilla開宗明義的告訴大家答案是「-1/12」！隨後用3個簡單的算式及快速的方法證明推演，他說明這個答案十分合理，而且已被寫進弦理論教科書內，另外他也提到，依照物理領域來說，不可能會出現無限大的答案。
數學狂頻道最後下註解，影片中的證明雖然可以求出答案，但是在邏輯上不完整，請將這個影片當小知識來看，不過驚人的答案已引發網友熱烈討論。（張鈜閔／綜合報導）
結果驚人，答案竟是-1/12。翻攝自littlecanargie的YouTube。
英國諾丁漢大學副教授Tony證實這個答案。翻攝自littlecanargie的YouTube。
Tony用三個簡單的算試驗證。翻攝自littlecanargie的YouTube。
【小提醒：請點「顯示更多」以閱讀詳細註解！】
請訂閱 Numberphile 的 Youtube 頻道： http://ppt.cc/9obN
更多科普及有趣影片請到 RG 的翻譯天地： http://ppt.cc/~rDH
[RG 長篇碎碎念]
螢光幕前的各位，尤其是在學的國高中生請注意！請把這個影片當成小知識來看，不要將這個結果與嚴謹的極限定義搞混！在數學上的確有方法可以定義這類發散級數的「和」，但這種「和」的求取方法必須作嚴格的定義。影片中的證明方法能夠求出答案，但是在邏輯上不完整。
在邏輯上，如果 p邏輯式是錯誤的，那麼不論 q邏輯式是真是假， "由 p邏輯式 可推得 q邏輯式 (p→q)" 這個陳述永遠是正確的。例如：如果 1=2 那麼 3=4。這個推理過程是對的，但是前後兩個邏輯式都是錯的。
直接寫出 1+2+3+4+5+6+.... = -1/12 在數學上是不嚴謹的。在極限定義下，這個加總趨近無窮大。如果直接令 S = 1+2+3+4+5+6+... 就隱含著 S 是一個能夠作四則運算的「數」，所以邏輯上如果這個前提已經是錯誤，那麼最後導出來 S 不論等於多少都沒有意義。
所以不能隨便「令」。舉例來說：令 S = 最大的自然數，所以 S*S ≤ S → S*(S-1) ≤ 0 → 0 ≤ S ≤ 1 → 因為 S 是自然數所以 S = 1。這個結論顯然有問題，1 不是最大的自然數！癥結就出在令 S = 最大的自然數的前提就錯誤了！
數字狂頻道另外發布了一個影片，這個影片的推導方法牽涉到 Zeta 函數，但是比較嚴謹，連結請見[註5]，目前還沒有翻譯，如果各位有興趣請在下面留言，我會找時間翻譯出來！
[註1] 弦論 (String Theory)：1970年代末期發展出來的理論物理理論。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A...
[註2] 黎曼 Zeta 函數 (Riemann Zeta Function)：由德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) 提出的函數，著名的黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 就是和這個函數有關，這個猜想目前尚未有人能證明或反證。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8...
[註3] S1 就是所謂的 Grandi 級數 (Grandi's series)，數字狂頻道已經對這個級數拍攝了短片，翻譯已經推出！
http://www.youtube.com/watch?v=ZsgpAR...
[註4] Googolplex 是一個超級大的數。Googol 被定義為 10 的 100 次方，而 Googolplex 則被定義為 10 的 Googol 次方，也就是 1 後面有 10 的 100 次方個零。數字狂頻道已經對這個數拍攝了短片，翻譯將在近期內推出！
https://www.youtube.com/watch?v=8GEeb...
[註5] 最後這段影片，是數字狂在拍攝本短片的漏網鏡頭。影片內利用了黎曼 Zeta 函數的定義域擴張來導出 1+2+3+4+5+6+.... 應該被指定為 -1/12。這段影片長度頗長，目前還沒有翻譯，如果各位有興趣請在下面留言，我會視情況找時間翻譯出來！
https://www.youtube.com/watch?v=E-d9m...
--------------
請訂閱 Numberphile 的 Youtube 頻道： http://ppt.cc/9obN
更多科普及有趣影片請到 RG 的翻譯天地： http://ppt.cc/~rDH
[RG 長篇碎碎念]
螢光幕前的各位，尤其是在學的國高中生請注意！請把這個影片當成小知識來看，不要將這個結果與嚴謹的極限定義搞混！在數學上的確有方法可以定義這類發散級數的「和」，但這種「和」的求取方法必須作嚴格的定義。影片中的證明方法能夠求出答案，但是在邏輯上不完整。
在邏輯上，如果 p邏輯式是錯誤的，那麼不論 q邏輯式是真是假， "由 p邏輯式 可推得 q邏輯式 (p→q)" 這個陳述永遠是正確的。例如：如果 1=2 那麼 3=4。這個推理過程是對的，但是前後兩個邏輯式都是錯的。
直接寫出 1+2+3+4+5+6+.... = -1/12 在數學上是不嚴謹的。在極限定義下，這個加總趨近無窮大。如果直接令 S = 1+2+3+4+5+6+... 就隱含著 S 是一個能夠作四則運算的「數」，所以邏輯上如果這個前提已經是錯誤，那麼最後導出來 S 不論等於多少都沒有意義。
所以不能隨便「令」。舉例來說：令 S = 最大的自然數，所以 S*S ≤ S → S*(S-1) ≤ 0 → 0 ≤ S ≤ 1 → 因為 S 是自然數所以 S = 1。這個結論顯然有問題，1 不是最大的自然數！癥結就出在令 S = 最大的自然數的前提就錯誤了！
數字狂頻道另外發布了一個影片，這個影片的推導方法牽涉到 Zeta 函數，但是比較嚴謹，連結請見[註5]，目前還沒有翻譯，如果各位有興趣請在下面留言，我會找時間翻譯出來！
[註1] 弦論 (String Theory)：1970年代末期發展出來的理論物理理論。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A...
[註2] 黎曼 Zeta 函數 (Riemann Zeta Function)：由德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) 提出的函數，著名的黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 就是和這個函數有關，這個猜想目前尚未有人能證明或反證。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8...
[註3] S1 就是所謂的 Grandi 級數 (Grandi's series)，數字狂頻道已經對這個級數拍攝了短片，翻譯已經推出！
http://www.youtube.com/watch?v=ZsgpAR...
[註4] Googolplex 是一個超級大的數。Googol 被定義為 10 的 100 次方，而 Googolplex 則被定義為 10 的 Googol 次方，也就是 1 後面有 10 的 100 次方個零。數字狂頻道已經對這個數拍攝了短片，翻譯將在近期內推出！
https://www.youtube.com/watch?v=8GEeb...
[註5] 最後這段影片，是數字狂在拍攝本短片的漏網鏡頭。影片內利用了黎曼 Zeta 函數的定義域擴張來導出 1+2+3+4+5+6+.... 應該被指定為 -1/12。這段影片長度頗長，目前還沒有翻譯，如果各位有興趣請在下面留言，我會視情況找時間翻譯出來！
https://www.youtube.com/watch?v=E-d9m...
--------------
沒有留言:
張貼留言